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Vi risparmio buona parte della storia, ma ho la necessità di considerare la gravità che un corpo subisce da un pianeta sferico uniformemente denso, e per via delle piccolissime dimensioni del pianeta rispetto alla norma non posso approssimare il pianeta ad un corpo puntiforme.
Avrei teoricamente risolto il problema, ma non sono completamente sicuro che tutto quello che abbia fatto sia corretto.
Situazione reale: un corpo di massa m si trova ad un'altezza p da un pianeta sferico di raggio R uniformemente denso di massa M.
Analizzando: Consideriamo un piano cartesiano, poniamo sul semiasse negativo delle x il corpo di massa m a distanza p dall'origine. Inoltre, semplifichiamo la sfera ad un cerchio della stessa massa M del pianeta. Osserviamo che il corpo sarà sottoposto solamente alla forza gravitazionale del pianeta e che il vettore risultante punta verso il centro C del pianeta. Consideriamo quindi la funzione sqrt(-x^2+2Rx) (una semicirconferenza di centro C(R,0) e raggio R) (tutti i calcoli saranno effettuati, quindi, nella regione sottostante la funzione e il risultato sarà semplicemente raddoppiato alla fine). La forza che il corpo subisce per via di un qualsiasi punto P del cerchio sarà GM'm/l^2, dove l è la distanza fra il corpo e il punto ed M' è la parte infinitesimale della massa del pianeta (e G è la costante di gravitazione universale). Sapendo che nel risultato finale la parte y del vettore risultante sarà pari a 0, possiamo effettuare i calcoli utilizzando solo la componente x, e quindi usando (GM'm/l^2)*cos(a), dove a è l'angolo formato fra la retta passante per il punto in cui giace il corpo e il punto P considerato e l'asse x. Possiamo riscrivere il tutto come (GM'm/((x+p)^2+r^2)) * (x+p)/((x+p)^2+r^2), dove r è la distanza fra il punto P considerato e l'asse x.
Integriamo quest'ultima formula fra 0 ed rmax in dr. Notiamo che rmax è il valore che la funzione della semicirconferenza assume con la x del punto P. (D'ora in poi, niente formule, sono davvero troppo lunghe da scrivere.)
Quello che abbiamo calcolato fino a questo momento (se tutti i ragionamenti sono corretti) è la forza che il corpo subisce per via di metà di una sezione qualsiasi del pianeta perpendicolare all'asse x. Integrando il risultato in dx per tutti i valori da 0 a 2R, dovremmo (ancora una volta, se tutto è corretto) ottenere la forza che il corpo subisce per metà del pianeta. Raddoppiando il risultato, dovremmo avere la soluzione.
Ringrazio in anticipo chiunque possa correggermi in un qualsiasi punto del ragionamento, visto che dovrei portarlo alla maturità.
Per la cronaca, il corpo m, alla fine, dovrà essere un segmento di altezza h con la base a distanza P dal terreno e la punta a distanza P+h e dovrò integrare il tutto da P a P+h in dp.
E, per chi se lo fosse chiesto, la distanza è P perché il corpo è in teoria poggiato sul pianeta, ma avere distanza 0 mi ucciderebbe, e sono quindi obbligato a chiamare in causa una distanza minima pari alla lunghezza di Planck, ma che dovrò cambiare non appena possibile in qualcosa di più preciso e MOOOOOLTO più grande non appena avrò stimato la distanza minima fra due elettroni (credo, circa, 10^-10). |
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